Navier-Stokes ekvationer. Matematisk modellering. Lösning av system med differentialekvationer

Navier-Stokes ekvationssystem används förteori om stabiliteten hos vissa flöden, samt att beskriva turbulens. Dessutom bygger den på utvecklingen av mekanik, som är direkt relaterad till allmänna matematiska modeller. I allmänhet har dessa ekvationer ett stort informationsmaterial och är lilla studerade, men de härleddes i mitten av artonhundratalet. De främsta händelserna betraktas som klassiska ojämlikheter, det vill säga en ideell osynlig vätska och gränsskikt. Resultatet av initialdata kan vara ekvationerna för akustik, stabilitet, medelvärde turbulenta rörelser, inre vågor.

Bildandet och utvecklingen av ojämlikheter

De ursprungliga Navier-Stokes ekvationerna harenorma data om fysiska effekter och undersökande ojämlikheter skiljer sig åt eftersom de har komplexiteten av karakteristiska särdrag. På grund av att de också är icke-linjära, icke-stationära, med närvaron av en liten parameter med ett inneboende högsta derivat och karaktären av rymdrörelsen, kan de studeras med hjälp av numeriska metoder.

Direkt matematisk modelleringturbulens och flytande rörelse i strukturen av olinjära differentialekvationer har ett direkt och grundläggande värde i detta system. Numeriska Navier-Stokes-lösningar var komplexa, beroende på ett stort antal parametrar, därför orsakade de diskussioner och ansågs ovanliga. Men på 60-talet lagde grunden för utvecklingen av hydrodynamik och matematiska metoder, bildandet och förbättringen, liksom den breda distributionen av datorer.

Ytterligare information om Stokes-systemet

Modern matematisk modellering i strukturen av Navier-ojämlikhet är fullbildad och anses vara en självständig riktning inom kunskapsområdena:

• vätske- och gasmekanik;
• aerohydrodynamics;
• maskinteknik;
• energi;
• naturfenomen;
• teknik.

De flesta applikationer av denna typkräver konstruktiva och snabba arbetsflödeslösningar. Exakt beräkning av alla variabler i detta system ökar pålitligheten, minskar metallförbrukningen, volymen av energisystem. Till följd av detta minskar bearbetningskostnaderna, den operativa och tekniska delen av maskiner och apparater förbättras, kvaliteten på material blir högre. Kontinuerlig tillväxt och prestanda av datorer ger möjlighet att förbättra numerisk modellering, liksom liknande metoder för att lösa system med differentialekvationer. Alla matematiska metoder och system utvecklas objektivt under påverkan av Navier-Stokes ojämlikheter, som innehåller betydande kunskapsreserver.

Naturlig konvektion

Problemen med mekaniken hos en viskös vätska studerades påbaserat på Stokes-ekvationerna, naturlig konvektiv värme och massöverföring. Dessutom har tillämpningar inom detta område som ett resultat av teoretiska metoder gjort framsteg. Temperaturens heterogenitet, vätskans, gasens och tyngdets sammansättning orsakar vissa fluktuationer, som kallas naturlig konvektion. Det är också gravitation, vilket också är uppdelat i termiska och koncentrationsgrenar.

Bland annat delas denna term.termokapillär och andra typer av konvektion. Befintliga mekanismer är universella. De är inblandade och ligger till grund för de flesta gasrörelser, vätskor som finns och förekommer i det naturliga riket. Dessutom påverkar och påverkar de strukturella elementen baserade på termiska system, liksom homogenitet, värmeisoleringseffektivitet, separation av substanser, strukturell perfektion av material som bildas från vätskefasen.

Funktioner i denna klass av rörelser

Fysiska kriterier uttrycks i en komplex inre struktur. I detta system är kärnan i flödet och gränsskiktet svårt att särskilja. Dessutom är funktionerna följande variabler:

• ömsesidigt inflytande av olika fält (rörelse, temperatur, koncentration);
• Det starka beroende av ovanstående parametrar sker på gränsen, initiala förhållanden, som i sin tur bestämmer likhetskriterierna och olika komplicerade faktorer;
• numeriska värden i naturen, teknikförändring i bred mening;
• Som ett resultat blir driften av tekniska och liknande installationer svår.

De fysikaliska egenskaperna hos ämnen som förändras iett brett spektrum under påverkan av olika faktorer, samt geometri och gränsvillkor påverkar konvektionens uppgifter, och varje specificerat kriterium spelar en viktig roll. Egenskaperna för massöverföring och värme beror på olika parametrar. För praktiska tillämpningar är de traditionella definitionerna nödvändiga: flöden, olika element i strukturella lägen, temperaturavskiljning, konvektionsstruktur, mikro- och makroheterogenitet av koncentrationsfält.

Icke-linjära differentialekvationer och deras lösning

Matematisk modellering, eller, på ett annat sätt,Metoder för beräkningsexperiment utvecklas med beaktande av ett specifikt system av icke-linjära ekvationer. Den förbättrade formen att avlägsna ojämlikheter består av flera steg:

1. Valet av den fysiska modellen av fenomenet som undersöks.
2. De definierande initialvärdena grupperas i en dataset.
3. En matematisk modell för att lösa Navier-Stokes ekvationer och gränsvillkor i någon grad beskriver det skapade fenomenet.
4. En metod eller metod för beräkning av problemet utvecklas.
5. Ett program skapas för att lösa system av differentialekvationer.
6. Beräkningar, analys och bearbetning av resultat.
7. Ansökan i praktiken.

Från allt detta följer att huvuduppgiften ärNå den rätta slutsatsen baserad på dessa åtgärder. Det vill säga ett fysiskt experiment som används i praktiken måste ge vissa resultat och skapa en slutsats om korrektheten och tillgängligheten av en modell eller ett datorprogram som utvecklats för detta fenomen. I slutändan kan du bedöma den förbättrade metoden för kalkylen eller att den behöver förbättras.

Lösa system av differentialekvationer

Varje specificerat stadium beror pågivna domänparametrar. Den matematiska metoden utförs för att lösa system av icke-linjära ekvationer som hör till olika klasser av problem och deras kalkyl. Innehållet i varje kräver fullständighet, noggrannhet i fysiska beskrivningar av processen, samt funktioner i praktiska tillämpningar av något av de studerade ämnesområdena.

Matematisk beräkning baserad påMetoder för att lösa icke-linjära Stokes ekvationer appliceras i fluid- och gasmekanik och betraktas som nästa steg efter Eulers teori och gränsskiktet. Således är det i denna version av beräkningen höga krav på effektivitet, snabbhet och perfektion för bearbetning. Särskilt gäller dessa riktlinjer för flödesregimer som kan förlora stabilitet och gå vidare till turbulens.

Mer om åtgärdskedjan

Teknisk kedja, mer exakt, matematisketapper ska förses med kontinuitet och lika styrka. Den numeriska lösningen av Navier-Stokes-ekvationerna består av diskretisering - när man konstruerar en ändlös dimensionell modell kommer det att finnas några algebraiska ojämlikheter i kompositionen och ett sätt för detta system. Den specifika beräkningsmetoden bestäms av en rad olika faktorer, bland annat: funktioner i klassen av uppgifter, krav, tekniska möjligheter, traditioner och kvalifikationer.

Numeriska lösningar av icke-stationära ojämlikheter

Att bygga ett kalkylsystem för problemDet är nödvändigt att bestämma ordningen för Stokes differentialekvationen. Det innehåller faktiskt det klassiska systemet med tvådimensionella ojämlikheter för konvektion, värme och massöverföring av Boussinesq. Allt detta härrör från den allmänna klassen av Stokes problem av komprimerbar vätska, vars densitet inte är beroende av tryck men har ett förhållande med temperaturen. I teorin anses det vara dynamiskt och statiskt stabilt.

Med Boussinesq-teorin, alla termodynamiskaparametrar och deras värden vid avvikelser förändras inte mycket och är fortfarande relevanta för statisk jämvikt och sammanhängande förhållanden. Modellen som skapas på grundval av denna teori tar hänsyn till minimala fluktuationer och möjliga skillnader i systemet i samband med förändring av kompositionen eller temperaturen. Således ser Boussinesq ekvationen ut så här: p = p (c, T). Temperatur, orenhet, tryck. Dessutom är densiteten en oberoende variabel.

Kärnan i Boussinesq-teorin

Att beskriva konvektion, i Boussinesq-teorintillämplig viktig särskiljande egenskap hos systemet, som inte innehåller hydrostatiska effekter av kompressibilitet. Akustiska vågor uppträder i ett system av ojämlikheter om densitet och tryck är beroende. Liknande effekter filtreras vid beräkning av temperaturavvikelser och andra variabler från statiska värden. Denna faktor påverkar väsentligt designen av beräkningsmetoder.

Om emellertid några förändringar uppstår ellerskillnader i orenheter, variabler, hydrostatiskt tryck ökar, då bör ekvationerna justeras. Navier-Stokes ekvationerna och vanliga ojämlikheter har skillnader, särskilt för beräkning av konvektiv komprimerbar gas. I dessa uppgifter finns det mellanliggande matematiska modeller där en förändring i fysikalisk egendom beaktas eller ett detaljerat hänsyn tas till förändringen i densitet, vilket beror på temperatur och tryck och koncentration.

Egenskaper och egenskaper hos Stokes-ekvationerna

Navier och dess ojämlikheter utgör grundenKonvektion har dessutom specificitet, vissa egenskaper som uppträder och uttrycks i numerisk utföringsform och beror inte heller på skivans form. Ett karakteristiskt särdrag hos dessa ekvationer är den rumsliga elliptiska väsen av lösningar, vilket beror på visköst flöde. För att lösa det är det nödvändigt att använda och tillämpa typiska metoder.

Ojämnheten av gränslaget är annorlunda. Dessa villkor kräver vissa villkor. I Stokes-systemet finns ett högre derivat, på grund av vilket lösningen förändras och blir jämn. Gränsskiktet och väggarna växer, i slutändan är denna struktur icke-linjär. Resultatet är en likhet och relation med den hydrodynamiska typen, liksom med inkomprimerbar vätska, tröghetskomponenter, mängden rörelse i de önskade problemen.

Karakteristiken för olinjäritet i ojämlikhet

När man löser system av Navier-Stokes-ekvationerstora Reynolds-tal beaktas, vilket leder till komplicerade rymdtidstrukturer. I naturlig konvektion finns ingen hastighet som ställs in i uppgifterna. Reynolds-talet spelar sålunda en storskalig roll i det angivna värdet, och används också för att erhålla olika likheter. Dessutom används användningen av detta alternativ i stor utsträckning för att få svar med systemen i Fourier, Grashof, Schmidt, Prandtl och andra.

I Boussinesq approximationen skiljer sig ekvationernaspecificitet, på grund av det faktum att en betydande del av det ömsesidiga inflytandet av temperatur- och flödesfält beror på vissa faktorer. Icke-standardflödet av ekvationen beror på instabilitet, det minsta Reynolds-talet. Vid isotermisk fluidflöde ändras situationen med ojämlikheter. Olika lägen finns i de icke-stationära Stokes-ekvationerna.

Kärnan och utvecklingen av numerisk forskning

Fram till nyligen, linjär hydrodynamiskekvationerna innebar användning av stora Reynolds-siffror och numeriska studier av beteendet hos små störningar, rörelser och andra. Idag innebär olika trender numerisk simulering med direkta förekomster av övergångs- och turbulenta regimer. Allt detta löses av systemet med olinjära Stokes-ekvationer. Det numeriska resultatet i detta fall är det momentana värdet av alla fält enligt de angivna kriterierna.

Hantering av övergående resultat

Instant slutliga värden ärnumeriska implementeringar som lånar sig till samma system och statistiska processer som linjära ojämlikheter. Andra manifestationer av rörelse-icke-stationaritet uttrycks i variabla interna vågor, stratifierad vätska etc. I slutresultatet beskrivs alla dessa värden dock av det ursprungliga ekvationssystemet och bearbetas och analyseras av väl etablerade värden och scheman.

Andra manifestationer av icke-stationaritet uttalas.vågor, vilka betraktas som en övergångsprocess av utvecklingen av initiala störningar. Dessutom finns det klasser av icke-stationära rörelser som är förknippade med olika masskrafter och deras vibrationer, liksom med termiska förhållanden som varierar över ett tidsintervall.